Rozwiązania (autor: „Happy Boy” )
Zad.1
Kontynuacja wskazówki:
13 5 cyfra jedności 3
13 6 9
13 7 7
13 8 1
13 9 3
13 10 9
13 11 7
13 12 1
13 13 3
7 5 7
7 6 9
7 7 3
3 + 3 = 6
Zad. 2
g = ½ t + 140
t = g +140
o = 140
t = ½ t + 140 + 140 t = 140 ∙ 4 = 560
g = 140 ∙ 3 = 420
140 + 420 + 560 = 1120 (dag)
Zad. 3
40 – 5 ∙ 2 + 4 ∙ 2 = 38
38 : 4 = 9,5 9,5 – 4 = 5,5 9,5 + 5 = 14,5
ZADANIE 5
Pan Kowalski powiedział, że gdy sumę lat trojga jego dzieci pomnożymy przez jego wiek (wszystkie wyrażone w liczbach naturalnych), to otrzymamy 128. Ile lat mają pan Kowalski i jego dzieci, jeśli wiek ojca jest liczbą o sumie cyfr równej 5?
CIEKAWOSTKA 5
Dzielniki i wielokrotności liczb
Jeżeli liczba naturalna a dzieli liczbę naturalną b bez reszty, to liczba a nazywa się dzielnikiem liczby b, a liczba b nazywa się wielokrotnością liczby a.
Dzielnikiem liczby b nazywamy taką liczbę a, która dzieli bez reszty liczbę b.
Wielokrotnością liczby a nazywamy liczbę b, która jest iloczynem liczby a i dowolnej liczby naturalnej.
Dzielnikami liczby 12 są: 1,2,3,4,6,12, bo każda z liczb dzieli 12 bez reszty.
Zapisujemy wówczas D 12 ={1,2,3,4,6,12}
Wielokrotnościami liczby 7 są liczby: 0,7,14,21,28,35,..., bo każda z liczb jest podzielna przez 7. Zapisujemy wówczas W 7 ={0,7,14,21,28,35,...}.
Oczywiście wszystkich wielokrotności danej liczby nie sposób wymienić, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.
Własności:
- liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej
- każda liczba naturalna jest wielokrotnością liczby 1
- każda liczba naturalna różna od 0 jest swoim dzielnikiem
- każda liczba naturalna jest swoją wielokrotnością
- liczba 0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej
Liczba dzielników - funkcja θ
Oznaczmy przez θ(n) liczbę wszystkich dzielników naturalnych liczby n.
Możemy policzyć liczbę dzielników liczby naturalnej n nie wypisując ich, w zamian musimy rozłożyć liczbę n na czynniki pierwsze. Sprawdźmy na przykładzie liczby 540.
540=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅5=2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 1
θ(540)=(2+1)(3+1)(1+1)=3⋅4⋅2=24.
Dla potwierdzenia przeprowadzonych rachunków, poniżej wszystkie dzielniki liczby 540, jest ich razem 24.
D 540 ={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540}
Jeśli liczba naturalna p jest liczbą pierwszą, to θ(p)=2.
Suma dzielników - funkcja σ
Oznaczmy przez σ(n) sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n.
Możemy policzyć sumę dzielników liczby naturalnej n, wykorzystując jej rozkład na czynniki pierwsze. Sprawdźmy na przykładzie liczby 60.
60=2⋅2⋅3⋅5=2 2 ⋅ 3 1 ⋅ 5 1
σ(60)= [(2 3 − 1) : 1 ]⋅[(3 2 − 1) : 2]⋅[(5 2 − 1) : 4]=7⋅4⋅6=168.
Poniżej wszystkie dzielniki liczby 60 oraz ich suma.
D 60 ={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
σ(60)=1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+30+60=168
Jeśli liczba naturalna p jest liczbą pierwszą, to σ(p)=p+1.